起 因

  学完了因数、倍数和分解质因数后，学生追问了许多关于分解质因数的问题。我顺着学生的思路，给他们布置了一个小课题：有一张长方形纸，长16厘米，宽12厘米，如果要剪成若干个同样大小的小正方形且纸没有剩余，剪出的小正方形边长可能是几厘米？最大是几厘米？（边长取整厘米数）

  在学生解答之后，我又给他们布置了另一个小课题：任意两个数，怎样找它们的公因数和最大公因数，学生们又投入到积极的研究中……

  师：我们已经学过因数与倍数的有关知识，谁来说说12的因数有哪些？16的因数呢？这节课老师要看看谁是咱们班最有智慧的数学家。

  【评析】引导学生回顾因数与倍数的有关知识，暗示它们之间存在一定的联系，为小组的展示交流做铺垫，同时激发学生求知的欲望。

  师：课前，老师给大家布置了研究任务，现在就来展示你们的研究成果吧！

  第一小组：大家请看图，如果剪成的小正方形边长是1厘米，那么16厘米长正好能剪16个1厘米，12厘米宽正好能剪12个1厘米，16×12=192，所以能剪192个边长是1厘米的小正方形。我们认为剪出的小正方形边长可能是1厘米。

  （同上，该小组依次介绍了边长是2厘米  和4厘米的情况）

  综上所述，我们组认为剪成的小正方形边长可能是1厘米、2厘米、4厘米，且最大是4厘米。

  生：你们为什么不选择剪边长3厘米、5厘米或6厘米的小正方形呢？

  第一小组：3不是16的因数；5既不是12的因数，也不是16的因数；6不是16的因数。要想把这张长方形的纸剪成若干个同样大小的小正方形而没有剩余，剪出的小正方形边长必须是12的因数，也必须是16的因数。

  【评析】教师布置的研究任务从实例的感知入手，学生在实践中获得数学体验，逐步形成数学概念。第一小组面对其他学生的质疑回答得有理有据。

  师：第一小组是用画图的方法进行研究的。看第二小组是怎样研究的？

  第二小组：开始我们也是用画图的方法得出结论：小正方形边长必须是12和16共同的因数，既然这样，我们就没有必要再画图了，这样太麻烦。

  我们找出16的因数（1、2、4、8、16），再找出12的因数（1、2、3、4、6、12），它们共同的因数是1、2、4，其中4是最大公因数。所以小正方形边长可能是1厘米、2厘米、4厘米，最大是4厘米。

  师：刚才第二小组找出12和16共有的因数，其中4是最大公因数。今天我们就学习最大公因数。（板书课题）

  【评析】这一组学生不仅仅停留在完成教师布置的研究任务上，而且思考了怎样更简单地解决问题，教师适时点出最大公因数的概念，引出课题。

  师：课前，许多同学对怎样找两个数的最大公因数进行了研究，现在我们就看看他们是怎样研究的。

  第三小组：我们组找到了一种比较简单的方法，先找出其中一个数的因数。例如18和27，先找出18的因数（1、2、3、6、9、18），再看看18的因数中哪些也是27的因数。其中1、3、9既是18的因数，又是27的因数，所以1、3、9是18和27的公因数，9是18和27的最大公因数。

  生：这种方法要一个一个把因数列出来，比较麻烦，有没有节省时间的方法？

  第三小组：先列较小的数的因数，看这些因数中哪些也是较大的数的因数。

  师：刚才第三小组的同学用了列举的方法求出了两个数的最大公因数，现在看看这几道题应该怎样做。

  ⑴ 8的因数有（ ），9的因数有（ ），它们的公因数有（ ），最大公因数是（ ）。

  ⑵ 20的因数有（ ），20和30的公因数有（ ）。

  ⑶ 16 和 18 的最大公因数是（ ）

  A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

  【评析】找两个数的最大公因数，方法不是唯一的。第三小组用多种方法找出两个数的最大公因数，展示非常自信。老师设计的练习题较有层次，目的是检验全体学生是否掌握了求最大公因数的方法。

  师：在找两个数的最大公因数时，有的同学还发现了一些特殊情况，让我们听听他们的研究吧！

  第四小组：前面一组同学研究的方法我们小组也进行了研究，在研究的过程中，我们举了大量的例子，发现了一种特殊情况。例如：5和7,2和9,10和11。

  5的因数有1、5，7的因数有1、7，5和7的公因数只有1，所以最大公因数是1。

  师：像刚才第四组同学研究的这些数，公因数只有1的两个数，叫互质数。

  第四小组：我们小组在研究公因数只有1的两个数时，开始认为只有两个质数才有这种关系，例如3和5，11和13等，可经过进一步研究，发现有的合数也有这种关系，例如14和15、25和27等，还有的一个是质数一个是合数，例如5和6、18和19等。由此我们认为，公因数只有1的两个数，可能都是质数或可能都是合数，也可能一个是质数，一个是合数。

  生：请问1是质数还是合数？

  第四小组：1既不是质数也不是合数。

  生：既然1不是质数也不是合数，说明除了你列举的3种情况外，还有1和任何非0自然数都是互质数。我还发现，只要两个相邻的自然数，它们的公因数只有1，最大公因数也是1，例如2和3,10和11……

  师：也就是说，0除外的两个相邻的自然数都是互质数。对吗？真棒！

  生：我还发现，互质数的两个数中，至少有一个是奇数。

  师：是这样吗？为什么？

  生：如果两个数都是偶数，这两个数肯定有公因数2，那就不是互质数了。

  师：太棒了！大家鼓励一下。

  第五小组：大家看，4和8的最大公因数是几？为什么？因为4的最大公因数是4,4又是8的因数，所以4和8的最大公因数是4。那么，5和25的最大公因数是多少？为什么……

  由此，我们组认为，如果较小的数是较大的数的因数，那么它们的最大公因数就是较小的数。现在来考考大家，5和15的最大公因数是几？6和24,8和32呢？

  【评析】学生在教师的指引下步步深入，教师给学生充分思考的空间，孩子才会有许多惊喜的发现。学生在展示时格外自信，俨然当起了小老师。

  第六小组：前面我们已经学过用短除法把一个合数分解质因数，我们能不能用分解质因数的方法求两个数的最大公因数呢？例如24=2×2×2×3，36=2×2×3×3，2、2、3既是24的质因数，又是36的质因数，那么2×2×3=12，12就是24和36的最大公因数。也就是说，这两个数的最大公因数是它们共有的质因数的乘积。

  我来考考大家，15=3×5,25=5×5，15和25的最大公因数是几？

  生：我们会用短除法分解质因数，我想，求两个数的最大公因数能不能把两个短除式合为一个，用共有的因数去除呢？

  合并两个短除法

  2 | 18 30→用共有的质因数2去除

  3 | 9 15→用共有的质因数3去除

     3 5→除到两个商除了1再没有其他的公因数为止

  把所有的除数乘起来，得出18和30的最大公因数是2×3=6。

  师：同学们真了不起，通过自己的努力研究出这么多求最大公因数的方法。其实，数学是一个神奇的王国，里面隐藏了许许多多奇妙而有趣的东西，只要我们肯动脑筋去研究，你就会发现许多其乐无穷的现象，就会变得越来越有智慧。

  【总评】纵观这节课，教师充分调动学生的积极性，激发学生的探究热情，为学生提供了一个展示的舞台，同时也创设了一个充满“研究味”的课堂氛围，真正实现了从“要我学”到“我要学”的转变。

  在课前，每个学生都做了深入研究，所以当他们在课堂上展示交流时，就出现了一幕幕精彩的质疑、争辩、讨论。面对别人的质疑、反驳，同组成员互相帮助、补充，一起应对。在这个过程中，学生不仅发展了思维，更重要的是，逐步养成了全面考虑问题和善于从别人身上取长补短的意识。

  在这样的课堂上，学生不仅对数学有了更好的理解，而且创新能力、合作能力、语言表达能力、逻辑推理能力都得到了提高。课堂上这种展示、交流、辨析的形式，更会对学生的学习方式产生积极的影响，并进一步影响学生对数学学习的情感、态度和价值观。